题目描述

爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：
爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。
当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？

样例数据

示例 1：

输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。

示例 2：

输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。

示例 3：

输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278

提示：

0 <= K <= N <= 10000
1 <= W <= 10000
如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
此问题的判断限制时间已经减少。

题解&new skills √

优化前（TLE）

动态规划：
令dp[x]表示从得分为 x 的情况继续开始并且获胜的概率，当分数达到或超过 K 时游戏结束，游戏结束时，如果分数不超过N则获胜，如果分数超过N则失败。因此当 K≤x≤min(N,K+W−1) 时dp[x]=1，当 x>min(N,K+W−1) 时 dp[x]=0

min(N,K+W−1)解读：只有在分数不超过 N时才算获胜，其次，可以达到的最大分数为K+W−1。

在范围 [1, W]内随机抽取一个整数，且每个整数被抽取到的概率相等，因此可以得到如下状态转移方程：

所以按照以上思路可得代码：

class Solution { public: double new21Game(int N, int K, int W) { if (K==0){ return 1.0; }         vector<double> dp(K+W+1); for (int i=K;i<=N&&i<K+W;i++) {//K≤当前得分≤N 并且当前得分为可得得分，获胜概率为1             dp[i]=1.0; } for (int i=K-1;i>=0;i--) { for (int j=1;j<=W;j++) {                 dp[i]+=dp[i+j]/W; } } return dp[0]; } }; 

时间复杂度 O(N+KW) 提交发现TLE 想一想还有没有其他的办法

优化后（AC）

dp[i]表示的是当总共分数为i时的概率为dp[i]，我们求出dp[N]，由于每个数被抽的概率是相同的。
所以

class Solution { public: double new21Game(int N, int K, int W) { if (K==0){ return 1.0; }         vector<double> dp(K+W+1);         dp[0]=1.0; double sum=1.0;//累加dp[i]~dp[N-1] double ans=0.0; for (int i=1;i<=N;i++) {             dp[i]=1.0*sum/W;//动态转移方程 if(i<K){                 sum+=dp[i];//继续抽 }else{                 ans+=dp[i];//表示当前选的点是符合要求的，那么将其加入到符合条件的概率当中 } if(i>=W){                 sum-=dp[i-W];//将前面的数据替换掉 } } return ans; } };