计算机系统的位运算与逻辑运算

一、位

1、定义

二进制数字系统中数据存储的最小单位，即每个二进制数0或1就称为位。位也叫比特(bit)，8个bit组成一个字节(byte)，每个字节表示程序中的某些文本字符。字长(word size)表征了CPU一次能并行处理的最多二进制位数，例如32位机一次最多能处理32个bit组成的单元。

2、表示方法

位的本质是二进制数。由于一个byte由8位构成，即00000000
$_{(2)}$

(2)​ ~ 11111111
$_{(2)}$

(2)​，这种表示方法很冗长。把8位二进制数转成十进制为0
$_{(10)}$

(10)​ ~ 255
$_{(10)}$

(10)​，虽然表示起来方便，但是二-十进制转换很麻烦。因此引入了十六进制表示法，原因在于十六进制表示8位二进制数很简洁而且二-十六进制可以快速转换。以0x或0X打头的数字常量一般就是十六进制数。

3、位向量

固定长度为w的由二进制代数组成的行向量称为位向量。位向量的逻辑运算是元素级的逻辑运算，例如
$a$

a=[
$a_{(w-1)}$

a(w−1)​,
$a_{(w-2)}$

a(w−2)​,……,
$a_1$

a1​,
$a_0$

a0​]，
$b$

b=[
$b_{(w-1)}$

b(w−1)​,
$b_{(w-2)}$

b(w−2)​,……,
$b_1$

b1​,
$b_0$

b0​]，那么这两个位向量的逻辑与运算就是
$a$

a&
$b$

b=[
$a_{(w-1)}$

a(w−1)​&
$b_{(w-1)}$

b(w−1)​,
$a_{(w-2)}$

a(w−2)​&
$b_{(w-2)}$

b(w−2)​,……,
$a_0$

a0​&
$b_0$

b0​]，注意此时的二进制代数视为表示逻辑真假的布尔代数。
任何“整型”数据类型都可以使用位运算。对于十六进制表示的字节进行位运算时，最好的方法是将十六进制转二进制，位运算后再转回十六进制，例如对char类型数据进行位运算。

4、位向量的应用

（1）表示有限集合

用位向量
$a$

a=[
$a_{(w-1)}$

a(w−1)​,
$a_{(w-2)}$

a(w−2)​,……,
$a_1$

a1​,
$a_0$

a0​]编码任何子集
$A$

A⊆{0,1,2……,
$w-1$

w−1}，当且仅当
$i$

i⊆
$A$

A时
$a_i$

ai​ = 1，于是用与或非就可以分别进行有限集合的交并补集运算

（2）位向量掩码(BitMask)

通过位向量运算，有选择地使能或屏蔽某些信号（或权限等）的位向量，称为位向量掩码。
例如，给出
$x$

x=0x87654321，要求给出一个BitMask使其将除了
$x$

x的最低有效字节外其余位都取补，而最低有效字节不变。于是我们可以给出
$a$

a=~0xFF，然后将
$x$

x与
$a$

a异或运算即可实现目标。下面要总结几点：
①1^x 可以实现对x取反，0^x可以实现保持x不变
②上例位向量还可以是
$a$

a = 0xFFFFFF00，然后直接进行
$x$

x^
$a$

a，但这样的缺点是代码的可移植性较差

5、移位运算

注意：
①位向量最高位为0时，算术右移与逻辑右移等价，因为把最高位视为符号位的话，有符号的正数和无符号数等价
②循环移位：若对于一个w位位向量，进行k≥w的移位运算，则此时位移量为k mod w，类似于循环队列的索引结构。但这种行为没有保证，编程时应尽可能保证k＜w
③移位的优先级较低，移位运算时要注意运算顺序

二、布尔代数

1、定义

将逻辑真定义为二进制数1，逻辑假定义为二进制数0，这种表示逻辑运算的二进制代数称为布尔代数。利用布尔代数可以很好地研究逻辑推理。

2、逻辑运算

3、位运算与逻辑运算的关系

可以看出位级逻辑运算是元素级的布尔逻辑运算，即每个位向量元素进行0-1逻辑运算；而命题逻辑运算是把整个字节看成一个整体，将所有的非0的参数看成逻辑真(1)，0看成逻辑假(0)，所以就命题本身而言可以不为布尔代数，执行逻辑运算时是把整体看成一个布尔代数，再进行相应的逻辑运算。

三、小结

本篇博客是对CSAPP这部分内容的一个总结和理解，参考资料也是这本书，作为小白第一次写博客，希望各位指出不足，相互交流