20应用统计考研复试要点(part11)–应用多元分析山羊菌的博客-

07 五月

星期四, 07 五月 2020 09:30 Last Updated on 星期四, 07 五月 2020 09:30 0 Comments

学习笔记，仅供参考，有错必纠

王学明应用多元分析

矩阵代数

正定矩阵和非负定矩阵

定义

设A是p阶对称矩阵，
$x$

是p维向量，则
$x’Ax$

称为A的二次型。

若对一切
$x not= 0$

，有
$x’Ax > 0$

，则称A为正定矩阵，记作
$A>0$

若对一切
$x$

，有
$x’Ax geq 0$

，则称A为非负定矩阵，记作
$A geq 0$

基本性质

(1)设
$A=A’$

，则
$A>0$

(或
$A geq 0$

)，当且仅当A的所有特征值均为正(或非负)

(2)设
$A geq 0$

，则A的秩等于A的正特征值个数。

(3)若
$A>0$

，则
$A^{-1}>0$

(4)设
$A geq 0$

，则
$A>0$

，当且仅当
$|A| not= 0$

(5)若
$A>0$

(或
$A geq 0$

)，则
$|A|>0$

(或
$|A| geq 0$

)

(6)对于一切矩阵B，
$BB’ geq 0$

(7)若
$A>0$

(或
$A geq 0$

)，则存在
$A^{1/2}>0$

(或
$A^{1/2} geq 0$

)，使得
$A=A^{1/2}A^{1/2}$

，
$A^{1/2}$

称为A的平方根矩阵。

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由于
$A^{1/2}$

对称且其特征值
$sqrt{lambda_i} > 0$

(或
$sqrt{lambda_i} geq 0$

)，
$i=1,2,…,p$

，所以
$A^{1/2}>0$

(或
$A^{1/2} geq 0$

)

注意：当p=1时，
$A=a$

是一个正数(或非负数),可有
$a=a^{1/2}a^{1/2}$

，而
$a^{1/2}$

也是一个正数或非负数。

(8)设
$A geq 0$

，是p阶秩为r的矩阵，则存在一个秩为r(即列满秩)的
$p times r$

矩阵B，使得
$A=BB’$

山羊菌

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