P3327 [SDOI2015]约数个数和 题解数据结构与算法bifanwen的博客-

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简要题意：

求

$sum_{i=1}^n sum_{j=1}^m d(ij)$

i=1∑n​j=1∑m​d(ij)

其中，
$d(x)$

d(x) 表示
$x$

x 的因数个数。

算法一

爆搜。

时间复杂度：
$O(Tnm sqrt{nm})$

O(Tnmnm​).（
$T$

T 的飞起）

期望得分：
$0pt$

0pt.

算法二

考虑每个数作为其它数因数所产生的贡献。

时间复杂度：
$O(T times min(n,m))$

O(T×min(n,m)). （海星吧）

期望得分：
$0pt$

0pt.

算法三

一言不合就推式子

$sum_{i=1}^n sum_{j=1}^m d(ij)$

i=1∑n​j=1∑m​d(ij)

$= sum_{i=1}^n sum_{j=1}^m sum_{x|i} sum_{y|j} [gcd(x,y)==1]$

=i=1∑n​j=1∑m​x∣i∑​y∣j∑​[gcd(x,y)==1]

$= sum_{x=1}^n sum_{y=1}^m [gcd(x,y)==1] sum_{i=1}^{lfloor frac{n}{x} rfloor} sum_{j=1}^{lfloor frac{m}{y} rfloor} 1$

=x=1∑n​y=1∑m​[gcd(x,y)==1]i=1∑⌊xn​⌋​j=1∑⌊ym​⌋​1

$= sum_{x=1}^n sum_{y=1}^m [gcd(x,y)==1] {lfloor frac{n}{x} rfloor} times {lfloor frac{m}{y} rfloor}$

=x=1∑n​y=1∑m​[gcd(x,y)==1]⌊xn​⌋×⌊ym​⌋

$= sum_{i=1}^n sum_{j=1}^m [gcd(i,j)==1] {lfloor frac{n}{i} rfloor} times {lfloor frac{m}{j} rfloor}$

=i=1∑n​j=1∑m​[gcd(i,j)==1]⌊in​⌋×⌊jm​⌋

显然到了这里式子推完，我们需要 莫比乌斯反演。

设

$f_x = sum_{i=1}^n sum_{j=1}^m [gcd(i,j)==x] {lfloor frac{n}{i} rfloor} times {lfloor frac{m}{j} rfloor}$

fx​=i=1∑n​j=1∑m​[gcd(i,j)==x]⌊in​⌋×⌊jm​⌋

$g_x = sum_{x|i} f_i$

gx​=x∣i∑​fi​

则

$g_x = sum_{i=1}^n sum_{j=1}^m [x | gcd(i,j)] {lfloor frac{n}{i} rfloor} times {lfloor frac{m}{j} rfloor}$

gx​=i=1∑n​j=1∑m​[x∣gcd(i,j)]⌊in​⌋×⌊jm​⌋

$= sum_{i=1}^n sum_{j=1}^m {lfloor frac{n}{ix} rfloor} times {lfloor frac{m}{jx} rfloor}$

=i=1∑n​j=1∑m​⌊ixn​⌋×⌊jxm​⌋

答案为
$f_1$

f1​，由 莫比乌斯反演 得：

$f_x = sum_{x|d} mu_frac{d}{x} g_d$

fx​=x∣d∑​μxd​​gd​

则

$f_1 = sum_{x|1} mu_frac{d}{1} g_d$

f1​=x∣1∑​μ1d​​gd​

$= sum_{x=1}^n mu_d g_d = sum_{i=1}^n mu_i g_i$

=x=1∑n​μd​gd​=i=1∑n​μi​gi​

再瞅一眼这个
$g$

g 的定义：

$g_x = sum_{i=1}^n sum_{j=1}^m {lfloor frac{n}{ix} rfloor} times {lfloor frac{m}{jx} rfloor}$

gx​=i=1∑n​j=1∑m​⌊ixn​⌋×⌊jxm​⌋

首先我们需要预处理

$s_x = sum_{i=1}^x lfloor frac{x}{i} rfloor$

sx​=i=1∑x​⌊ix​⌋

可得：

$g_x = s_{lfloor frac{n}{x} rfloor} times s_{lfloor frac{m}{x} rfloor}$

gx​=s⌊xn​⌋​×s⌊xm​⌋​

显然
$s$

s 可以 整除分块，所以
$g$

g 也可以 整除分块，预处理
$mu$

μ 即可。

时间复杂度：
$O(n sqrt{n} + T sqrt{n})$

O(nn​+Tn​)

实际得分：
$100pts$

100pts.

#pragma GCC optimize(2) #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int N=1e5+1; inline int read(){char ch=getchar(); int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();} int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;} int mu[N],prime[N],tot=0; bool h[N]; ll s[N],ans=0; int T,n,m; inline void Euler() {  mu[1]=1; for(int i=2;i<N;i++) { if(!h[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-1; for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<N;j++) {    h[i*prime[j]]=1; if(i%prime[j]==0) {mu[i*prime[j]]=0;break;}    mu[i*prime[j]]-=mu[i]; } } for(int i=1;i<N;i++) mu[i]+=mu[i-1]; //线性筛并做前缀和 for(int i=1;i<N;i++) {   ll k=0; for(int j=1;j<=i;) { int t=i/(i/j); k+=1ll*(t-j+1)*(i/j);    j=t+1; } s[i]=k; } //整除分块预处理 s } int main() { Euler(); T=read(); while(T--) {   n=read(),m=read();   ans=0; for(int i=1;i<=min(n,m);) { int t=min(n/(n/i),m/(m/i));    ans+=1ll*(mu[t]-mu[i-1])*s[n/i]*s[m/i];    i=t+1; //整除分块计算答案 } printf("%lldn",ans); } return 0; }