2020数学建模A题:炉温曲线, 详细分析思路，题解答案。薛域斌-

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A题 炉温曲线

问题1 请对焊接区域的温度变化规律建立数学模型。假设传送带过炉速度为78 cm/min，各温区温度的设定值分别为173ºC（小温区1~ 5）、198ºC（小温区6）、230ºC（小温区7）和257ºC（小温区8~ 9），请给出焊接区域中心的温度变化情况，列出小温区3、6、7中点及小温区8结束处焊接区域中心的温度，画出相应的炉温曲线，并将每隔0.5 s焊接区域中心的温度存放在提供的result.csv中。

问题2 假设各温区温度的设定值分别为182ºC（小温区1~ 5）、203ºC（小温区6）、237ºC（小温区7）、254ºC（小温区8~9），请确定允许的最大传送带过炉速度。

问题3 在焊接过程中，焊接区域中心的温度超过217ºC的时间不宜过长，峰值温度也不宜过高。理想的炉温曲线应使超过217ºC到峰值温度所覆盖的面积（图2中阴影部分）最小。请确定在此要求下的最优炉温曲线，以及各温区的设定温度和传送带的过炉速度，并给出相应的面积。

问题4 在焊接过程中，除满足制程界限外，还希望以峰值温度为中心线的两侧超过217ºC的炉温曲线应尽量对称（参见图2）。请结合问题3，进一步给出最优炉温曲线，以及各温区设定的温度及传送带过炉速度，并给出相应的指标值。

假设同层温度相同；
2. 假设热传导率与时间无关，即忽略时间对热传导率的影响；
3. 假设热辐射对于热传递的影响；
4.假设各层之间的温度分布是连续变化的，但温度梯度是跳跃的；
4. 假设内部不发生热量的损耗。

针对问题一，本文着重考虑热传导沿垂直方向进行，

忽略同层壁之间微小的温差的情况，求解出的毕渥数 Bi 趋近 0 用以消除不同温度区接触面的热损耗情况。

其次，考虑邻近温度层之间存在一定温度关于厚度坐标的一阶偏导关系，在不同温度层边界设定热量输出与输入的等式关系，利用热传导的性质，建立了一维非稳态导热模型。并对连续变量厚度与时间构成的二维区域进行离散化处理，采用有限差分法及其递推公式来解决以预热区、恒温区、回流区、冷却区为整体的偏微分方程组，利用 12 类边界条件对离 散后的结点进行正向递推，最后借助 21类边界条件对该模型进行逆向递推求解，与正向求解所得结果进行整合分析.

针对问题二，本文从目标优化入手，确定了约束方程组，目标函数确定为使各温区温度的设定值，即z=minu(x,t)的单目标非线性约束模型。同时在一维非稳态导热模型的基础上，改变初始条件和左右边界条件，利用有限差分法和递推公式对其进行范围求解，最后对范围解进行优化。

注意不能超过制程界限
经递推可得出各层的左端边界温度，即材料层均属于 12 类边界条件
可以有下列式子

首先对求解区域进行离散化处理，定义 u x( ,t ) 在空间和时间的网格

一维非稳态导热模型把从空间中三维问题简化到一维，便于描述热量在不同层之间的传导，同时考虑了不同层边界的热量输入与输出，较好地利用热传导性质进行问题的求解。

排除了大量对热传导影响效果小的因素，便于本题的进行。利用有限差分方法进行数值计算，通过不同的步长和差分格式来计算结果，空间步长的大小对数值计算结果影响较大，空间网格划分的越细， 结果越准确。

如何做？？？？

第一问：在整个传输的过程中，传送带的速度已经被确定了，需要考虑到表1 配置的温度变化趋势以及时间，温度曲线在这一过程中的变化始终保持连续，需要注意的是不同的温区之间存在温度差，解题的过程中需要对温度变化做出合理的假设，因为物体的导热是需要时间的，基础阶段可以假设该时间段不存在，后面可以提到改进和创新。由于给出了制程界限和运输速度，就可以计算出电路板在焊接过程中的时间，温度变化的过程就可以通过函数关系式表达出来了。温度变化的过程可以通过 MATLAB 中的 CFtool 来进行拟合，只要确定好表达式，以及限制条件，通过参数的拟合过程就可以确定温度变化的区间。合理确定参数，但是对于每一个人参数的标准都不同，各位可以根据实际情况自行判断。如果能够确定温度变化是线性变化，也可以通过 Lingo 来完成。在软件过程之后，可以通过变量的反复控制来实现对温度的研究。一般来说第一问的方法比较多，选择适合自己的就好。

第二问：第二问与第一问之间正好是逆向思维，当不同温区的温度确定之后，需要充分考虑的变量就是温度上升过程中在 150ºC~190ºC 的时间和温度大于217ºC 的时间，同样的道理，确定好温区的温度变化， 在不同的温度就需要计算出温度的时间，因为从温区 6 开始到温区 9 之间时间变化只允许在 40-90 秒这部分时间，那么温区 1-5 之间的可以先不考虑，单独对后面的温区进行刻画，题中要求允许的最大传送速度。在路程不变的情况下，通过时间越短，速度越快。当我们结合温区之间的距离，充分考虑进去之后，就会发现速度也是在一个区间的范围中，不同的软件测算出来的结果有一点误差，但是误差范围不大。可以通过 MATLAB 中的 CFtool 来进行拟合，根据题目的要求，在保证温度处于合理的区间内，与此同时，焊接的时间始终保证安全即可实现安全生产，最终确定一个最佳的区间。友情提示：完成题目的过程中不要对答案。影响心态。

第三问：为了保证阴影部分的面积最小，即要求传送过程在回流区的速度要快，充分考虑到温度的增长趋势，一旦温度升高过快则面积就会加大。（积分原理）求面积可以通过基本的积分方法，进行阴影面积的表达式线性表出，之后可以加上温度的限制条件，进行最大值的求解，过程中的变量都可以通过 MATLAB进行计算。最值求解，第一步需要确定变量的范围，以时间为横坐标、温度为纵坐标，确定积分区域面积通过表达式做出合理的求导，通过导数的方法算出最佳的方案。确定时间的过程相对较为复杂，可以使用控制变量的方法，测算出其范围即可。

第四问：第四问建立在第三问的基础之上，对第三问做出了一定的优化，为了保证以峰值温度为中心线的两侧超过 217ºC 的炉温曲线应尽量对称，且时间需要合理控制，来对炉温曲线进行优化，同时对于温区的温度和传送带的速度均需要进行优化，这一个过程相对比较开放，对于不同的影响因素即可以分开优化，也可以全部优化。对于不同的变量，需要对其分别进行展开研究，不同的变量影响的意义不同，对于结果也会产生不同方面的影响，比如温度升高的速度加快、影响焊接质量等等。这方面是一个较为开放的课题，如果时间紧急，可以确定某一个变量不变，而只对其中一个变量做文章，对其进行改变，分别计算出面积的大小，即可实现题目要求。

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